世界上最美的数学文章--前无古人后无来者
本帖最后由 ygvfe 于 2024-3-4 20:45 编辑最美的数学论文--前无古人后无来者
摘要：利用素数基本性质，借助霍奇猜想的方法，可以把四色定理-哥德巴赫猜想-黎曼猜想-费马大定理用图像表示。这个模型也是弦理论的模型。这样数论与几何联系起来，它是【朗兰兹纲领】的一部分，并且与物理学最重要的问题融为一体。
几何构造比代数少多了，而且远比代数构造难度大太多。这个几何构造需要一系列重大数论构造来联合表示。本文的几何拓扑构造就是在哥德巴赫猜想费马大定理黎曼猜想的框架中，理论物理最终会变成几何和数论的一部分。
让我们开始吧！
借助粘贴方法，构造任意复杂的几何拓扑结构。
對於千禧年7個數學問題，為什麼這七個問題被選中超過其他問題，更具體地，為什麼霍奇猜想（Hodge猜想）被包括。 一些問題是整個研究領域的基礎：
1，P與NP是電腦科學的聖杯,
2，納維葉－斯托克斯存在性與光滑性（Navier-Stokes）是流體力學的基礎，
3，Yang-Mills理論是粒子物理的基礎。
其中三個與數學中的概念有關：
4， 解決黎曼猜想（Riemann假設）為更好地理解素數鋪平了道路，
5，貝赫和斯維訥通－戴爾猜想（Birch和Swinnerton-Dyer猜想）是關於確定是否有一個簡單的方法來區分有限和無限解的多項式方程，這意味著什麼？
6，而龐加萊猜想（Poincaré推測）與3d表面如何工作有關。
人類一直在研究形狀的數學，直到一個三角形在西元前500年前第一次被畢達哥拉斯注意。 經過幾代人，研究越來越複雜的形狀，直到大約兩千年後，各種幾何形狀看起來像蒸汽。 數學家已經做了所有他們可以想到的形狀，並沿途提供了一切從工程到透視繪畫的基礎（特別是天才的達芬奇）。
然後，在1637年，一個聰明的年輕數學家哲學家笛卡爾認識到，如果你抽象一步，幾何實際上是與代數相同。笛卡爾做了很多思考幾何線如何只是一組數字。 方程也可以產生一組數字作為它們的解。 如果這兩組數字完全相同，則在一張紙上繪製的線可以被認為是與等式的解的相同的東西。這是數學中的分水嶺時刻，它允許代數中開發的所有工具應用於幾何。 這就是為什麼你的學校數學老師對將線性圖轉換為方程式感到如此興奮：任何隨機線可以被認為是一個等式的解集，例如y = mx + c。
任何圓是一組解決方案（X-A）^2+(Y-B)^2=R^2file:///C:/Users/Administrator/AppData/Local/Temp/ksohtml7696/wps1.png。
到現在，如果你想看到某條線與特定圓交叉的位置，你可以幾何地繪製形狀，或者只是用代數方式比較方程。 兩種方法都會給出相同的答案。數學家不滿足於，他們很快發現更複雜的方程，或者甚至方程組都在一起工作，可以在各種維度產生驚人的形狀。
一些仍然可以被形象化的形狀 ，例如方程組的解決方案映射出一個環的表面，被稱為環面 。但其中許多是超出了我們可以畫，只有通過代數和一個非常伸展的想像力。由於數學家現在正在處理超出我們可以想像的對象，這些“形狀”通常被稱為“代數迴圈”。 如果一個代數週期是一個不錯的流暢，一般乖巧的造型，它也獲得稱號“總管” 。
第一：一組數學家知道，拓撲學家開始看看如果你在多面體上繪製形狀會發生什麼。 你可以想像你有一個環形轮胎，你在頂部畫一個三角形。 或者五角大樓。如果形狀可以滑動和拉伸，則三角形可以扭曲成五邊形。 拓撲學家將所有可能從一個變形到另一個（沒有從歧管表面扯起）的形狀分組成“同源性類” - 一種廣義形狀。 所有通過轮胎的“孔”的形狀將形成不同的同源性類別。
第二，一群代數學家開始採用已經產生好的整理流形並添加更多方程的方程組。 這些附加方程在這些歧管內產生新的代數迴圈。不久之前，人們意識到拓撲學家將同源性類繪製到歧管上，代數學家將代數迴圈嵌入到歧管中實際上是同樣的事情。 這是當幾何形狀首先遇到代數方程時的重複。 困難是沒有人知道當歧管上的同源性分類包含至少一個也可以描述為代數迴圈的形狀。
總而言之，歧管是可以通過一組方程描述的奇怪（可能是高維）形狀。 添加額外的方程將給你更小的形狀，稱為代數迴圈，在該流形。
問題是：如果你把任何隨機的可能的討厭的形狀繪製到一個歧管上，你怎麼知道它是否可以被拉伸成一個不同的形狀，可以被描述為一個好的代數迴圈？
霍奇想法
蘇格蘭數學家威廉·霍奇：怎麼能知道哪些類的同源性在任何給定歧管，相當於一個數學週期？
一個偉大的想法。 只是他不能證明。 我們有一個小的平滑的“空間”（在每個鄰域類似於歐幾裏德空間，但在更大的規模上，“空間”是不同的），這是由一群方程描述，使得這個空間具有均勻的維度。 然後我們獲取基本的“拓撲”資訊，並將其分解成更小的幾何部分（由數字對標記）。
幾何部分內的理性東西被稱為“Hodge迴圈”。 每個較小的幾何部分是稱為代數迴圈的幾何部分的組合。 基本上我們有一個“樁”。我們仔細看看它，看看它是由許多“切碎的木材”組成。“切碎的木材”裏面有“twigs”（霍奇迴圈）。
霍奇猜想斷言，對於成堆的切碎的木材，樹枝實際上是被稱為原子（代數迴圈）的幾何部分的組合。
1958年，英國數學家，第13次國際數學大會的主席，W.V.D.Hodge霍奇教授提出：對於射影代數簇空間，在非奇異複射影代數簇上, 任何一個霍奇類都可以表達為代數閉鏈類的有理線性（幾何部件的）組合。
這個叫霍奇猜想的東東，用通俗的話說，就是“再好再複雜的一座宮殿，都可以由一堆積木壘成”。用文人的話說就是: 任何一個形狀的幾何圖形，不管它有多複雜(只要你能想得出來)，它都可以用一堆簡單的幾何圖形拼成。
二十世紀的前半葉，數學家希望得到研究複雜形狀的方法。基本思想是：任何一個複雜形狀都可以由一組簡單的幾何形狀基本模組粘合形成。這是極其傳統的數學方法．也是千年來歐幾理得幾何公理系統的原始思想。
問題是在什麼程度上（過程到底有多複雜），對於給定的複雜形狀，我們可以通過把維數不斷增加，把越來越多的簡單幾何基本模組粘合在一起，來形成該複雜形狀。數學家希望用這種思想，用各種不同類型的方式一步一步地擴展，最終建立一組強有力的代數方程或／和幾何工具，使各種複雜的對象分類成一些具體的簡單的幾何對象及其組合。在這種擴展過程中，幾何出發點變得模糊起來——到底從那些簡單幾何對象組合起；組合的程式／序列又是什麼。因此，必須加上一些沒有任何幾何解釋的＂非幾何＂基本模組。以期達到：在非奇異複射影代數簇上, 任何一個霍奇類對象都可以表示為代數閉鏈類的有理線性組合，這就是著名的霍奇猜想。
我构造例子
構造一個有無窮多個兩兩相連區域的空間結構，也是霍奇猜想的一個標準例子
详见后面的图。
构造意义。我們的世界，如果您關心我們的宇宙，關心物理學就會清楚，我們的宇宙被兩種理論主宰：
一個是行星繞著太陽轉時，就像籃球放在床單上，當球移動時，床單就會變形，這個就是大品質物體如何扭曲時空的理論。
另外一個是量子理論，它解釋了微觀世界不可思議的事情，為什麼光既是粒子也是波。
量子糾纏是兩個粒子之間的鏈接，一個粒子的狀態影響另外一個粒子的狀態。
如果按照第一種理論，引力支配一切，這些粒子應該表現不同，就不會有量子糾纏。
上面這個問題困擾著物理學家。
进入正题！
一，数论的最高境界就是应用于实际并且把许许多多的问题融合在一起
（一），从四色定理开始
法兰西斯古德里于1831年生于伦敦，在1852年提出的猜想，只需要四种颜色为地图着色。这是因为他发现在平面上或者球面上，只能有4个区域两两相连，英国数学家德摩根证明了平面上不存在5个区域两两相连。
1974年德国的林格和美国的杨斯证明了在曲面上染色定理，例如，在一个汽车轮胎形状的环面（亏格1）需要7种颜色，因为可以构造7个两两相连的区域，6种颜色肯定不够的；在有两个洞的双环面需要8种颜色，因为可以构造8个两两相连的区域，7种颜色肯定不够的；....。(具体图像参见百度百科“7色定理，8色定理，9色定理，10色定理，11色定理，....等”）
（二），岐管
数学家证明了可以构造无穷多个两两相连的区域，这样的区域就是岐管。（见下图）如果你不能理解，让我慢慢道来：现在有两根管子，一个记为1，一个记为2，它们代表两个区域。file:///C:/Users/Administrator/AppData/Local/Temp/ksohtml7696/wps2.png
file:///C:/Users/Administrator/AppData/Local/Temp/ksohtml7696/wps3.pngfile:///C:/Users/Administrator/AppData/Local/Temp/ksohtml7696/wps4.png
我们假定所有的管子都是可以随意拉伸和弯曲的。
把两根管子端端相连，就是一个汽车轮胎一样的环，它有两个区域，我们再用一根直管子记为3，安在这个环的中间，一头连着区域1，一头连着区域2，现在它是有两个洞的双环了，有三个区域两两相连（参见百度百科【霍奇猜想应用】，或者智慧火花数学栏目【数学最重要的问题与物理学最重要的问题可以结合在一起吗】）。
现在我们用一个“丁”字型的三叉管，记为区域4，三个端口分别与区域1，区域2，区域3相连。于是现在有4个区域两两相连；
我们再用一根四叉管记为区域5。它4个端口分别与区域1,2,3,4相连，现在有5个区域两两相连。
这个步骤可以无限制进行下去，用五叉管，六叉管，...，n叉管。构造无穷多个区域，它们都是两两相连的。
数学家和物理学家把这个叫做岐管。岐管是一种不规则的管道，可以有无穷多个维度（参见智慧火花物理学栏目【空间的维度】）。如果每一个区域给定一个点，两两相连的点就构成了货郎担问题。
二，与数论重大问题联系
在数论中，最重要的元素就是素数，欧几里得证明了有无穷多个素数，并且它们有一个特点就是两两互素。
（一）我们设法把数论与图论联系起来。
我们把无穷多个两两互素的素数与无穷多个两两相连区域一一对应。
就是说用这个方法把数论与图论联系起来，这个方法的意图叫做朗兰兹纲领。
区域1，代表第一个素数2；第二个区域代表第二个素数3；第三个区域代表素数；...，第n个区域代表第n个素数。
我们把这个岐管倒过来，就像一个网子，篮球网子。篮球网子是把篮球往里面投。
公元前300年古希腊有一个数学家叫做埃拉特斯特尼，他把这个网子当成筛子，把自然数往里面扔，他说凡是合数通过筛子以后就会从网子里面筛掉，留下的是素数，这个就是著名的埃拉特斯特尼筛法，筛法可以用公式表达（参见百度百科词条【素数普遍公式】）。
1，与哥德巴赫猜想联系一起了
我们上面这个岐管筛子是把偶数往里面扔，哥德巴赫说，大于4的偶数一个也不会漏出筛子，除了6=3+3以外，其他偶数都是可以在不同的素数区域被拦截。例如偶数8会在区域2也就是素数3和素数5（第三个区域）被拦截；偶数10会在素数3和素数7的两个区域之间被拦截；...。总之，无穷多个偶数都逃不脱这个网子，没有一个偶数可以漏到外面去。file:///C:/Users/Administrator/AppData/Local/Temp/ksohtml7696/wps5.png
file:///C:/Users/Administrator/AppData/Local/Temp/ksohtml7696/wps6.png
看到没有？数论与图论已经融合一起了
2，与费马大定理联系一起
这个还不算神奇，这个岐管的内部空间我们记为X，外部空间记为Y，它有很多洞,可以有无穷多个洞，可以有无穷多个空间维度n，宇宙内外整体记为1，就是说file:///C:/Users/Administrator/AppData/Local/Temp/ksohtml7696/wps7.png，这个叫做费马曲线，它是由费马大定理file:///C:/Users/Administrator/AppData/Local/Temp/ksohtml7696/wps8.png同时除以file:///C:/Users/Administrator/AppData/Local/Temp/ksohtml7696/wps9.png得到的。
费马大定理与哥德巴赫猜想联系起来了。
3，这个岐管是多维空间
物理学家认为，宇宙是10维空间或者11维空间，或者26维空间等5个版本。还有物理学家认为有无穷多个维度的空间。他们管这个理论叫做弦理论或者M理论，是把广义相对论与量子理论结合一起的终极理论，霍金说是最后的理论（参见智慧火花物理学栏目【空间的维度】）。
在弦/m理论的11维空间里，有4维空间的伸展，7维空间卷缩起来的。 几何体的拓扑性质同粒子紧密相关。例如，这种粒子几何体有几个洞，决定着粒子世代的数目，在这些卷缩维度的空间里所采取的几何构型决定着弦或者膜能够有什么样的震动模式，从而决定着各种粒子的质量、自旋、以及电荷等各种相互作用的耦合常数。
原来，不仅仅自旋和同位旋等内部变量和内部空间都出自这些多维空间的几何学，而且粒子的电荷质量等性质，无一不是从这里产生出来的，不仅仅如此，人类生活本身也通过三维空间和一维时间都是从类似的几何体的构造中生长出来的。 我们生活在高维宇宙的一小片中，大到银河宇宙，小至原子夸克，都是 弦线构成的。
4，与黎曼猜想联系起来
数学家考虑的是怎样计算这个岐管上的区域或者计算区域上面的一个点（就是计算我们的宇宙定位系统）。如果岐管上某一个区域n，在n上的一个点是file:///C:/Users/Administrator/AppData/Local/Temp/ksohtml7696/wps10.png。
1/n，因为这个岐管有无穷多个维度，或者很多维度，我们要定位这个点，就要考虑它的管壁-----实部，还有考虑它的内外空间位置-----虚部。
所以1/n^s，这个点file:///C:/Users/Administrator/AppData/Local/Temp/ksohtml7696/wps11.png，S=α+βi。file:///C:/Users/Administrator/AppData/Local/Temp/ksohtml7696/wps12.png
i是虚数，α表示实部是1/2，因为这个多维宇宙等于1，岐管属于实部，管壁介file:///C:/Users/Administrator/AppData/Local/Temp/ksohtml7696/wps13.png入X与Y之间，管壁内与外都是无法计算大小的空间，我们只能将管壁定义为1/2.。实部上的点当然是1/2。这个正是黎曼函数黎曼猜想：file:///C:/Users/Administrator/AppData/Local/Temp/ksohtml7696/wps14.png，
将公式转换file:///C:/Users/Administrator/AppData/Local/Temp/ksohtml7696/wps15.pngfile:///C:/Users/Administrator/AppData/Local/Temp/ksohtml7696/wps16.png，
file:///C:/Users/Administrator/AppData/Local/Temp/ksohtml7696/wps17.png分母的p为2，3，5，7，...。黑色部分与上面的哥德巴赫猜想对应。因为，歧管每一个区域表示素数2，3，5，7，....。歧管中任何一点都要受到歧管整体区域的影响。
黎曼猜想说全部零点都在实部的1/2的临界带上。在物理学中，真空是能量的“零点”。我们如果在岐管壁上画出一条线，这根线段就用到黎曼猜想的公式计算。天啊，黎曼猜想的公式可以用几何拓扑的歧管构造出来！
黎曼猜想与费马大定理联系起来了（参见智慧火花物理学栏目【两个数论黑洞合并以后产生的引力波】）。
5，与欧拉公式联系起来
与欧拉公式联系起来，虚部怎么计算呢？岐管内部看成一个圆管，在岐管上的一个点为file:///C:/Users/Administrator/AppData/Local/Temp/ksohtml7696/wps18.png，做一个截面，就是一个圆。大家知道欧拉公式吗？file:///C:/Users/Administrator/AppData/Local/Temp/ksohtml7696/wps19.png。eπi+1=0
以file:///C:/Users/Administrator/AppData/Local/Temp/ksohtml7696/wps20.pnge0=1开始，以相对速度π，走了i时间(参见百科百科“虚时间”)，再加1，回到原点。
file:///C:/Users/Administrator/AppData/Local/Temp/ksohtml7696/wps21.png
包含了时间(时间有虚的涵义)和空间。
三，与宇宙学联系起来
与宇宙学联系起来。
将圆周率π=3.1415927....。
用两个数值表示，例如：π=3.1415927...=4-0.8584073....
于是欧拉公式：eπi+1=0转换成为e4i-0.8584073...i=-1
这个公式可以表示：
e4i/e0.8584073...i=-1
e4i=-e0.8584073...i
这个公式太离谱了，但是却是事实！
公式右边移到左边等于0。
e4i+e0.8584073...i=0
就是物质与反物质相遇就会湮灭。
式还有实物可以验证：
红色圈起来的是实物，绿色圈起来的是投影。实物用file:///C:/Users/Administrator/AppData/Local/Temp/ksohtml7696/wps26.png表示，投影用file:///C:/Users/Administrator/AppData/Local/Temp/ksohtml7696/wps27.png表示。这是一种镜像破缺，属于电磁力不守恒。
file:///C:/Users/Administrator/AppData/Local/Temp/ksohtml7696/wps28.png
file:///C:/Users/Administrator/AppData/Local/Temp/ksohtml7696/wps29.png
看到没有？投影是铜镜画面扭曲的结果，扭曲的投影决定青铜镜画面是如何运动的。重力扭曲时空，扭曲的时空决定物质如何运动。
四，与量子纠缠联系起来
当速度大于π时，时间就会走过头了，落入第三象限。欧拉公式是将指数函数file:///C:/Users/Administrator/AppData/Local/Temp/ksohtml7696/wps30.png解析延拓到整个复平面上。虚时间就是（3）式物理学中出现这种情况：不同时代的人在一个特殊的空间相会，例如今天的人file:///C:/Users/Administrator/AppData/Local/Temp/ksohtml7696/wps31.png与3000年前的人file:///C:/Users/Administrator/AppData/Local/Temp/ksohtml7696/wps32.png相遇（或者今天的人与未来的人相遇），我们会感觉到什么？
（3）式可以刻画量子纠缠——在同一时间两个正负不同的光量子对应。
我们的宇宙是由数学最经典的问题和物理学最经典的问题组成的。
五，与m理论联系起来
我们生活在费马大定理的宇宙中，出门旅行计算路程需要黎曼猜想，在欧拉公式的参与下，穿过哥德巴赫猜想的虫洞。一具复杂的岐管，包含了一个超级几何拓扑构造，需要一系列重大数论问题联合表示。局部区域可以按照素数普遍公式计算（详见百度百科【素数普遍公式】）即使不是与物理学联系，也是非常重要的。朗兰兹纲领就是企图将各种不同的数学几何体系融合一体。
六，这一切都是上帝安排的？
最复杂的宇宙空间离不开最简单的自然数表达，最简单的自然数又被最难以理解的素数控制着，空间区域可以构造出无穷多个两两相连的最短通路，与最简单的素数——无穷多个素数两两互素可以一 一对应。
数论与图论与相对论量子纠缠的虫洞居然可以在一个科学范围里讨论。
让我惊奇的是，几乎所有的事物，都可以被数学解释！
殷殷地球，抚育人类成长的摇篮，无不被数学渗透，林立的高楼，纵横的公路铁路，深海的钻探，太空的揽月，晶体雪花，漩涡星云，宏观到时空转换，微观到粒子等级跃跹概率，基因DNA的扭结，，，没有一项离开数学。
基础创造具有决定性的地位，要是没有阿波罗尼以透彻，漂亮的代数形式研究了圆锥曲线的几何特性，伟大的天文学家开普勒也许就不会发现他的行星运动规律（定律）。也许我们就不会生活在网络时代，牛顿也不可能系统地提出万有引力，爱因斯坦也没有必要发现相对论向牛顿挑战。
面对玄僪莫测的宇宙之谜，一个具有自由意志的人，一个不愿被宿命论困死的人，一个不满足神学解释听命与上帝摆布的人，除了求助于科学理性思维，没有更加好的出路。
在人类历史中，数学总是走在其它学科的前头：化学，物理学，生物学，。。。。也只有几百年的历史，而欧几里德的数学体系已经存在2000多年。早在300多年前数理逻辑就为但今计算机准备好了理论基础，20世纪最伟大的相对论，其数学基础产生于19世纪的黎曼几何，杨振宁规范场出现之前5年，陈省身的纤维从理论就已经为它铺好了温床。
作为意识形态的数学总是超越社会存在而走在前头，拓扑学过去认为用处不大，现在电路分析上少不了它；群论空洞而抽象，一直认为没有用处，现在在结晶学上却离不开；素数是纯之又纯的东西，已经成为密码学里的主力军，关系到国家的安全；由于素数的非循环性，仿生学用于回避灾难的研究，在社会科学的决策中，具有具足轻重的作用。更不要说3000年前的圆周率竟然是人口学的工具。数学总是以青春的热情来欢迎时代的每一种进步，并以为自己有责任来推动这种变革。
页:
[1]